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点到直线的距离公式的七种推导方法

 

已知点

直线

求点P到直线

的距离。（因为特殊直线很容易求距离，开荒保洁13825404095这里只讨论一般直线）

一、        定义法

证：根据定义，点P到直线

的距离是点P到直线

的垂线段的长，如图1，

设点P到直线

的垂线为

，垂足为Q，由

可知

的斜率为

的方程：

与

联立方程组

解得交点

二、        函数法

证：点P到直线

上任意一点的距离的最小值就是点P到直线

的距离。在

上取任意点

用两点的距离公式有，为了利用条件

上式变形一下，配凑系数处理得：

当且仅当

时取等号所以最小值就是

三、不等式法

证：点P到直线

上任意一点Q

的距离的最小值就是点P到直线

的距离。由柯西不等式：

当且仅当

时取等号所以最小值就是

四、转化法

证：设直线

的倾斜角为

过点P作PM∥

轴交

于M

显然

所以

 

易得∠MPQ＝

（图2）或∠MPQ＝

（图3）

在两种情况下都有

所以

五、三角形法

证：P作PM∥

轴交

于M，过点P作PN∥

轴交

于N（图4）

由解法三知

；同理得

在Rt△MPN中，PQ是斜边上的高

六、参数方程法

证：过点

作直线

交直线

于点Q。(如图1)

由直线参数方程的几何意义知

，将

代入

得

整理后得

   

当

时，我们讨论

与

的倾斜角

的关系：

当

为锐角时（

）有

（图2）

当

为钝角时（

）有

（图3）

得到的结果和上述形式相同，将此结果代入①得

 

七、向量法

证：如图五，设直线

的一个法向量

，Q直线上任意一点，则

。从而点P到直线的距离为：

附：

方案一：

设点P到直线

的垂线段为PQ，垂足为Q，由PQ⊥

可知，直线PQ的斜率为

（A≠0），根据点斜式写出直线PQ的方程，并由

与PQ的方程求出点Q的坐标；由此根据两点距离公式求出｜PQ｜，得到点P到直线

的距离为d

 

方案二：设A≠0，B≠0，这时

与

轴、

轴都相交，过点P作

轴的平行线，交

于点

；作

轴的平行线，交

于点

，

由

得

.

所以，｜PＲ｜＝｜

｜＝

｜PS｜＝｜

｜＝

｜ＲS｜＝

×｜

｜由三角形面积公式可知：

·｜ＲS｜＝｜PＲ｜·｜PS｜

所以

可证明，当A=0时仍适用